OBJETIVO:

El alumno será capaz de formular los modelos matemáticos de fenómenos físicos o geométricos cuya representación corresponda a funciones escalares o vectoriales de una o varias variables, conocerá los criterios para optimar e integrar funciones escalares de dos o más variables y podrá analizar las variaciones de funciones vectoriales, así como integrar dichas funciones a través de algunos de los criterios existentes para tal efecto.
 

TEMAS:

Número 
Nombre 
Horas 
Extremos para funciones de dos o mas variables 
12.0
II 
Funciones vectoriales 
28.5
III 
Integrales de línea 
  9.0
IV 
Integrales múltiples 
22.5
 
TOTAL 
72.0

ANTECEDENTES, OBJETIVOS Y CONTENIDOS DE LOS TEMAS:
 

I. EXTREMOS PARA FUNCIONES DE DOS O  MAS VARIABLES.

ANTECEDENTES: Algebra.
 Algebra Lineal.
 Geometría Analítica.
 Cálculo I.
 Cálculo II.

OBJETIVO:
El alumno será capaz de identificar los máximos y los mínimos de funciones de dos o más variables y los relacionará con algunos conceptos elementales de la optimación en la solución de problemas de ingeniería, con lo cual empezará a comprender la importancia de la optimación en el ejercicio profesional.

CONTENIDO:
I.1 Máximos y mínimos, relativos y absolutos, para funciones de dos variables independientes. Puntos críticos. Establecimiento de la condición necesaria para que un punto sea extremo relativo o punto silla.
I.2 Deducción del criterio de la segunda derivada para funciones de dos variables independientes. Conceptos de matriz y determinante hessianos. Generalización del criterio de la segunda derivada a "n" variables independientes. Resolución de problemas.
I.3 Formulación del problema de máximos y mínimos relativos con restricciones. Establecimiento de la ecuación de Lagrange, a través de sus elementos multiplicadores. Resolución de problemas de máximos y mínimos con restricciones y absolutos.

II.9 Generalización del concepto de gradiente. Derivada direccional de una función vectorial
II.10 Definiciones de divergencia y de rotacional; interpretaciones físicas. Campos irrotacional y solenoidal; aplicaciones. Concepto y aplicaciones del laplaciano. Función armónica. Propiedades del operador nabla aplicado a funcioes vectoriales. Obtención del gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en coordenadas curvilíneas ortogonales.
 

III. INTEGRALES DE LINEA.

ANTECEDENTES: Geometría Analítica.
 Cálculo I.
 Cálculo II.

OBJETIVO:
El alumno será capaz de calcular la integral de funciones vectoriales o del resultado de una operación escalar o vectorial de éstas, cuando son reductibles a una variable, y lo aplicará en la resolución de problemas físicos o geométricos.

CONTENIDO:
III.1 Integración de funciones vectoriales, aplicaciones. Definición y propiedades de la integral de línea. Integral cerrada. Cálculo de integrales de línea mediante parametrización. Aplicaciones de la integral de línea a la mecánica. Independencia de la parametrización.
III.2 La integral de línea como modelo matemático del trabajo y sus representaciones vectorial, paramétrica y diferencial. Conceptos físico y matemático de campo conservativo.
III.3 Concepto de función potencial. Integración de la diferencial exacta. Cálculo de la función potencial. Relación entre la independencia de la trayectoria, la diferencial exacta y el campo conservativo.
III.4 Cálculo de la integral de línea en coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.
 

IV. INTEGRALES MULTIPLES.

ANTECEDENTES: Geometría Analítica.
 Cálculo I.
 Cálculo II.

OBJETIVO:
El alumno podrá modelar matemáticamente y resolver un problema físico o geométrico que involucre el cálculo de integrales múltiples, en el sistema de referencia más adecuado.

CONTENIDO:
IV.1 Definición e interpretación geométrica de la integral doble. Integrabilidad de funciones continuas.
IV.2 Concepto de integral reiterada. Cálculo de la integral doble mediante la reiterada. Concepto y representación gráfica de regiones normal y regular. Cálculo de integrales dobles en regiones regulares. Aplicaciones en áreas, volúmenes, momentos y centros de masa. Cálculo de integrales dobles con cambio a coordenadas curvilíneas.
IV.3 Enunciado, demostración y aplicaciones del teorema de Green.
IV.4 Cálculo del área de una superficie alabeada en coordenadas cartesianas y cuando está dada por sus ecuaciones paramétricas. Integral de superficie y aplicaciones.
IV.5 Concepto e interpretación geométrica de la integral triple. Integral reiterada en tres dimensiones. Cálculo de la integral triple en regiones regulares. Aplicaciones en volúmenes, centros de masa y momentos estáticos y de inercia. Integrales triples en coordenadas cilíndricas, esféricas y en algún otro sistema coordenado curvilíneo. Generalización del concepto de integral múltiple.
IV.6 Teorema de Stokes.  Teorema de Gauss.
II. FUNCIONES VECTORIALES.

ANTECEDENTES: Algebra.
 Algebra Lineal
 Geometría Analítica.
 Cálculo I.
 Cálculo II.

OBJETIVO:
El alumno será capaz de calcular e interpretar las variaciones de una función vectorial de variable vectorial con respecto a una o a todas sus variables escalares, así como en una dirección definida, y de utilizarlas para resolver problemas físicos o geométricos, en el sistema de referencia más conveniente.

CONTENIDO:
II.1 Definición de función vectorial de variable escalar y de función vectorial de variable vectorial. Ejemplos físicos y geométricos y su representación gráfica para los casos de una, dos  o tres variables independientes y dos o tres variables dependientes. Concepto de campo vectorial.
II.2 Conceptos de límite y continuidad de las funciones vectoriales de variable escalar y vectorial. Cálculo de límites.
II.3 Definición, interpretación geométrica y cálculo de la derivada de una función vectorial de variable escalar y de las derivadas parciales de una función vectorial de variable vectorial. Propiedades de la derivada de funciones vectoriales.
II.4 Relación entre las ecuaciones paramétricas, la ecuación vectorial y las ecuaciones cartesianas de una curva en el espacio.
II.5 Ecuación vectorial de una curva. Análisis de curvas a través de la longitud de arco como parámetro. Deducción del triedro móvil y de las fórmulas de Frenet-Serret. Aplicaciones a la mecánica.
II.6 Ecuación vectorial de una superficie y su relación con la ecuación cartesiana. Vector normal a una superficie; aplicaciones.
II.7 Diferencial de funciones vectoriales de variable escalar y vectorial. Interpretación geométrica.
II.8 Concepto de coordenadas curvilíneas. Coordenadas curvilíneas ortogonales. Ecuaciones de transformación. Concepto de jacobiano de la transformación y determinación de la existencia de la inversa de ésta. Propiedades del jacobiano. Definición e interpretación de los puntos singulares. Estudio de los vectores unitarios, de los factores de escala y de la diferencial de “ r ”. Análisis de las coordenadas curvilíneas ortogonales: polares, cilíndricas, esféricas y algún otro sistema.

BIBLIOGRAFÍA:
 
Texto  Temas de la asignatura 
para los que se recomienda:
TEXTOS BASICOS  
LARSON, Roland E., HOSTETLER, Robert P. y 
EDWARDS, Bruce H.
“Cálculo”
McGraw Hill, Vol. 2, 5a. Edición
México, 1997

MARSDEN, Jerrold E. y TROMBA, Anthony J. 
“Cálculo Vectorial”
Addison-Wesley Iberoamericana,
E. U. A., 1991

PITA Ruiz, Claudio TODOS
“Cálculo Vectorial”
Prentice-Hall Hispanoamericana, 1a. Edición
México, 1995
 

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BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA  

DAVIS, Harry F. y SNIDER, Arthur D.
“Análisis Vectorial”
McGraw Hill, 1a. Edición el español
México, 1993

EDWARDS, C.H. Jr. y PENNEY, David E. 
“Cálculo con Geometría Analítica”
Prentice Hall, Hispanoamericana, 4a. edición
México, 1996

HSU, Hwei P. 
“Análisis Vectorial”
Addison-Wesley Iberoamericana
E.U.A., 1987

STRANG, Gilbert 
“Algebra Lineal y sus Aplicaciones”
Addison-Wesley Iberoamericana
México, 1988
 

SWOKOWSKI, Earl W., OLINICK Michael, PENCE Dennis 
“Calculus”
P.W.S. Publishing Company, 6th Edition
E.U.A., 1994

ZILL, Dennis G. 
“Calculus”
P.W.S. Publishing Company, 3th Edition
E.U.A., 1993
 

II, III y IV
 
 
 
 

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II, III y IV
 
 
 
 

I
 
 
 

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